Как-то мне довелось одной немолодой уже даме, следуя ее горячему желанию, преподавать геометрию. Не знаю уж, в том ли было дело, что она все забыла, но, возможно, она, мало чему научилась в своем девичьем институте, во всяком случае в геометрии она ровным счетом ничего не смыслила. Мы начали с азов и дошли до теоремы Пифагора, в которой для нее заключалось нечто необыкновенно поразительное. Люди вообще-то привыкли к этому поразительному. Однако, не правда ли, достаточно попросту понять следующее: если нам дан прямоугольный треугольник (Р. Штайнер чертит мелом на доске) и поверхности, которые в виде квадратов строятся по сторонам, то сумма поверхностей, построенных на катетах, равна поверхности, построенной на гипотенузе.

36

Стало быть, если я сажаю картофель и делаю это равномерно, то на двух меньших полях вместе я посажу столько же картофеля, сколько на большем поле. Это нечто поразительное, совершенно поразительное, при непосредственном взгляде это вовсе не представляется очевидным.

37

И вот как раз то, что это не очевидно, что это так удивительно, нужно при обучении использовать для витализации душевных процессов. Лейтмотивом должно быть то, что, хотя мы здесь имеем дело с чем-то вовсе не очевидным, с этим так или иначе приходится согласиться. Можно было бы сказать: теореме Пифагора приходится верить, но эта вера тут же снова утрачивается.

38

Приходится каждый раз заново уверять себя в том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов обоих катетов.

39

Доказывать ее можно различными способами, важно, чтобы доказательство было предельно наглядным. Особенно легко наглядность достигается, когда треугольник равнобедренный. Итак, нам дан равнобедренный прямоугольный треугольник (Р.Штайнер чертит мелом на доске).

40

То, что я закрашиваю оранжевым мелом (1, 2, 3, 4),— это квадрат гипотенузы. Синим мелом я закрашиваю квадраты катетов (2, 5; 4, 6).

41

Сажая равномерно на синих полях картофель, я посажу его столько же, сколько и на оранжевом поле.

42

Вот простейшее доказательство. Две частит синих квадратов принадлежат квадрату гипотенузы, они находятся внутри его. Эту часть (5) мы можем поместить сюда (на 3), а эту часть (6) поместим сюда (на 1). Таким образом с прямоугольным равнобедренным треугольником это получается совершенно наглядным. Возьмем теперь неравнобедренный треугольник (как на фигуре 1).

43

Начертим его еще раз (фигура 3: ABC). Построим на гипотенузе квадрат ABDE. Далее ABC вы можете воспроизвести здесь: BDF. Затем ABC или, что то же самое, BDF вы еще раз строите здесь: АС. Благодаря тому, что вы воспроизводите этот треугольник здесь еще раз, вы получаете возможность построить квадрат меньшего катета DACH (красный).

44

Вы видите, что здесь я могу построить еще один треугольник: DEJ. Теперь у нас также имеется квадрат большего катета: DJHF (зеленый). Квадрат гипотенузы я обведу фиолетовым: ABDE

45

Итак, красный (1, 2) и зеленый (3. 4. 5) вместе равны фиолетовому (2, 4. 6. 7).

46

Таким образом, фиолетовый квадрат содержит в себе часть красного квадрата (2) и часть зеленого (4). Вне фиолетового осталась часть красного (1) и 2 части зеленого (3, 5).

47

Теперь разместим это оставшееся вне фиолетового. Этим треугольником (5) можно покрыть вот этот (6). Эту поверхность (1, 3) можно точно поместить вот сюда (7). Конечно, можно было бы показать это корректнее, но я надеюсь, что все было представлено достаточно ясно. Посредством такого наложения поверхностей, когда вместо черчения применяется вырезание, становится очень наглядным, но если спустя некоторое время вы решите обдумать сделанное, окажется, что прежняя убедительность уже утрачена и нужно снова начинать сначала и проделывать все по порядку. Образ не удерживается в памяти, и приходится выстраивать все заново. Это-то и хорошо. Это соответствует теореме Пифагора. К ней каждый раз следует приступать заново. Рассмотренное каждый раз сбывается. Это — поразительное в теореме Пифагора. Это то, что вносит в нее жизнь. Вы убедитесъ в этом, задавая ученикам снова и снова доказывать ее, и они снова к снова будут испытывать затруднения, каждый раз им придется заново думать, и это соответствует живой природе теоремы Пифагора. Нехорошо доказывать ее так, чтобы она выглядела тривиально, хорошо, если каждый раз она снова забывается, и все приходится делать заново.

48

С 11—12-летними детьми в геометрии можно продвинуться настолько далеко, что им будет понятно основанное на сравнении поверхностей объяснение теоремы Пифагора. Прослеживая ход доказательства, дети испытают необыкновенную радость, они станут усердными. Они с удовольствием будут выполнять это снова и снова, особенно если это будет сопровождаться разрезанием фигуры на части. Только пара шалопаев-учеников сразу же все запомнят и смогут без труда всякий раз проделывать то же самое. Большинство же детей при разрезании всякий раз будут испытывать затруднения и сомнения. Это соответствует заключенному в теореме Пифагора чуду, с которым не следует расставаться.

49