Вы же знаете, внешняя методика предписывает обсуждать на первом году обучения преимущественно числа в числовом пространстве до 100. И можно придерживаться этого, поскольку довольно безразлично, если не выходить за пределы более простых чисел, насколько далеко продвигают числовое пространство на первом году обучения. Главное состоит в том, чтобы вы, поскольку вы пользуетесь числовым пространством, занимались в нем арифметическими действиями таким образом, чтобы вы учитывали именно то, что я сказал: сложение развивать сначала из суммы, вычитание – из остатка, умножение – из произведения и деление– из частного. Следовательно, прямо противоположное тому, что обычно делается. И только после того, как показано, что 5– это 3 плюс 2, показывают обратное: посредством сложения 2 и 3 возникает 5. Потому что в ребенке нужно вызывать сильные представления о том; что 5 равно 3 плюс 2, что 5, однако, также равно 4 плюс 1 и так далее. Следовательно, сложение лишь в качестве второго после разделения суммы; и вычитание, после того как спросили: что я должен вычесть из уменьшаемого, чтобы осталось определенная разность? И так далее. Как уже было сказано, само собой разумеется, что это делают тогда с более простыми числами на первом году обучения. А вот используют ли именно числовое пространство до 100, или до 105, или до 95, – это, по сути дела, второстепенно.

16

Однако затем, когда ребенок справился со сменой зубов, следует непременно сразу начать с того, чтобы заставить его выучить умножение и, будь моя воля, даже сложение; по меньшей мере, скажем, до числа 6 или 7. Следовательно, заставить ребенка как можно раньше просто по памяти выучить умножение и сложение, после того как ему лишь в принципе объяснили, что это, собственно говоря, такое, принципиально это объяснили на простом умножении, к которому приступают так, как мы об этом сказали. Стало быть, когда мы еще едва ли в состоянии втолковать ребенку понятие умножения, на него также уже следует возложить обязанность выучить на память таблицу умножения.

17

Затем на втором году обучения следует продолжать арифметические действия применительно к большему числовому пространству. Нужно попытаться выполнить с учеником устно простые задачи, чтобы при этом ничего не писать, именно в уме. Следует попытаться, возможно, вначале давать неизвестные числа на предметах – я ведь вам сказал, как вы можете давать неизвестные числа на бобах или на чем-нибудь другом. Однако все же не следовало бы терять из виду и вычисления в связи с названными числами.

18

На третьем году обучения все продолжается применительно к более сложным числам, и четыре действия арифметики, как ими занимались на втором году обучения, уже применяются в отношении некоторых простых вещей практической жизни.

19

На четвертом году обучения продолжается то, чем занимались на первых годах обучения. Однако теперь мы должны перейти к учению о дробях, и главным образом к учению о десятичных дробях.

20

Затем на пятом году обучения мы хотим продолжить заниматься учением о дробях и учением о десятичных дробях и преподнести ребенку все то, что привьет ему способность, вычисляя, свободно двигаться внутри целых, дробных, выраженных десятичными дробями чисел.

21

Затем на шестом году обучения следует переходить к вычислению дохода с капитала и процентов, к вычислению учетного процента, к простому вычислению векселя и обосновывать этим вычисление при помощи буквенных символов, как мы это показали.

22

Теперь я прошу обратить внимание на то, что мы до шестого года обучения выводили геометрические формы – круг, треугольник и так далее – из рисования, после того как мы вначале, в первые годы, занимались рисованием для обучения письму. Затем мы постепенно перешли к тому, чтобы из рисования, которым мы занимались для обучения письму, развивать у ребенка более сложные формы, которыми занимаются ради них самих, ради рисования. Также и живопись, которой занимаются ради живописного. В эту сферу мы направляем уроки рисования и живописи на четвертом году обучения, а по рисованию мы преподаем, что такое окружность, что эллипс и так далее. Мы учим этому, отталкиваясь от рисования. Здесь мы еще продолжаем, ведя дело также непременно и всегда к пластическим формам, пользуясь пластилином, если его можно раздобыть; в противном случае можно использовать что-нибудь другое – даже если это грязь, это не имеет никакого значения, чтобы также извлечь зрительное восприятие форм, ощущение форм.

23

Из того, что таким образом преподано по рисованию, занятия по математике, занятия по геометрии заимствуют теперь то, что могут дети. Только теперь переходят к тому, что объясняют геометрически, что такое треугольник, квадрат, круг и так далее. Следовательно, пространственное понимание этой формы извлекается из рисования. И то, чему дети научились из рисования, – только теперь, на шестом году обучения, к этому следует подходить с геометрическим пониманием. Зато мы потом увидим, что мы вбираем в рисовальное нечто другое.

24

На седьмом году обучения следует попытаться, после того как перешли к вычислению при помощи буквенных символов, преподнести детям возведение в степень, извлечение корня; а также то, что называют вычислениями с положительными и отрицательными числами. И прежде всего следует попытаться ввести детей в то, что в связи со свободным применением в практической жизни может быть названо учением об уравнениях.

25

Затем следует продолжить то, что связано с учением об уравнениях, на восьмом году обучения, настолько, насколько далеко можно продвинуть детей, и добавить к этому вычисления фигур и площадей и учение о геометрическом месте точек, как мы его вчера, по меньшей мере, коснулись.

26

Это дает вам картину того, как вам следует вести себя с детьми, занимаясь математикой и геометрией.

27