Речь заходит об отрицательных и мнимых числах. Рудольф Штейнер. Отрицательное число – это вычитаемое, к которому больше нет уменьшаемого; приглашение к операции, для которой больше нет субстанции, которая не может быть выполнена. Евгений Дюринг отверг мнимые числа как бессмыслицу и говорил о гауссовском определении мнимого, что оно является глупостью, не является реальностью, представляет собой глупую выдумку. Следовательно, умножение всегда развивают из сложения, а затем возведение в степень – из умножения. И затем деление – из вычитания, извлечение корня – из деления.

14

Только после начала вычисления при помощи буквенных символов, начиная с одиннадцатого-двенадцатого года жизни, переходят к возведению в степень и извлечению корня, потому что при извлечении корня определенную роль играет возведение в степень алгебраического многочлена.

15

В этой связи дальше следует проходить: вычисление брутто, вычисление нетто, вычисление тары, вычисление упаковки.

16

Задается вопрос, касающийся использования формул.

Рудольф Штейнер. Теперь, однако, речь идет о том, хотели бы вы лучше не использовать формулы очень часто, а снова и снова давать ход мыслей– при этом вы же, конечно, можете развивать языковую культуру, это ведь правильно, – или все же вы хотели бы перейти к формуле? Если вы сделаете это деликатно, чтобы формула была хорошо понята, то это также весьма полезно, чтобы до определенной степени оттачивать на этом языковую культуру.

17

Но, начиная с определенного момента, также хорошо сделать формулу чем-то, что ребенок чувствует. Сделать формулу чем-то, что имеет внутреннюю жизнь, так, чтобы, например, если при
Д = Л . П. Т : 100
Т становится больше, у ребенка возникало при этом ощущение возрастания целого.

18

Стало быть, тем самым, пожалуй, сказано то, что я хотел бы в этом месте сказать: что следовало бы использовать конкретные числа, когда есть такая возможность, как при исчислении дохода с капитала и процентов, для того чтобы найти переход к вычислению при помощи буквенных символов, чтобы, отталкиваясь от этого, работать дальше с умножением, делением, возведением в степень и извлечением корня. Это ведь вещи, которые вполне уже могут делаться с детьми.

19

Теперь я хотел бы поставить вопрос: считаете ли вы, что хорошо заниматься извлечением корня, прежде чем вы выполнили вычисление при помощи буквенных символов, или вы стали бы это делать потом?

20

Т. Прежде возведение в степень, потом извлечение корня. Рудольф Штейнер. Итак, исходите все же из того, из этого вам следовало бы исходить также и в будущем, чтобы как можно скорее, одиннадцати, двенадцати лет, начинать вычисление при помощи пленных символов и только затем переходить к возведению в степень и извлечению корня. Ибо после вычисления при помощи буквенных символов можно весьма простым и экономичным способом возводить с детьми в квадрат, в куб, в степень и извлекать корень, в то время как до того на это уходит страшно много времени. Вы будете преподавать легко и экономично, если вы вначале обсудили с детьми вычисление при помощи буквенных символов.

21

К. дает историческую разработку для учеников последних классов об основании и развитии городов и говорит о времени нашествий мадьяр из «Германии».

Рудольф Штейнер. Я бы здесь все же обратил внимание на то, чтобы неосознанно не возникали запутанные представления. Конечно, тогда, во времена Генриха, так называемого Градостроителя, не было Германии. Нужно выразиться примерно так: города на Рейне или Дунае, которые позднее стали немецкими. Не правда ли, до десятого столетия мы ведь имеем дело и не с мадьярами; до этого, когда речь идет о таких вторжениях, мы имеем дело с гуннами, аварами. Начиная с десятого века можно уже вполне сказать «Германия».

22

Видите ли, я бы здесь, например, попытался – это ведь задача, которой занимаются с учениками последних классов средней школы – привить детям определенное понятие хронологии. Когда так говорят «девятое, десятое столетие», представление стано­вится слишком малоконкретным. Как бы вы сделали это, чтобы у |детей возникло более конкретное представление о времени?

23

Вы могли бы здесь объяснить ребенку: «Когда тебе теперь столько лет, сколько лет твоей матери, твоему отцу? Затем, сколько лет бабушке и дедушке?» Здесь вы обнаруживаете всю смену поколений и можете объяснить ребенку, что такая смена трех поколений составляет приблизительно сто лет. Значит, сто лет тому назад прадед и прабабка были детьми. Девять столетий тому назад были не три, а 9 • 3 = 27 поколений. «Предположим-ка, что ты держишь руку твоего отца, он держит руку твоего деда, тот – руку твоего прадеда и так далее. Если бы они стояли так друг около друга, каким по счету был бы Генрих I, какой по счету человек стоял бы тогда напротив мадьяр, приблизительно в 926 году? Это был бы двадцать седьмой человек». Тогда я бы представил это весьма наглядно. После того как я таким образом привел детей к   конкретному представлению, сколько с тех пор прошло времени, я бы описал им затем походы мадьяр. Объяснил бы им, как мадьяры тогда напали на Центральную Европу. Как мадьяры обрушились с таким варварством, что все вынуждены были спасаться бегством, вплоть до маленьких детей в люльках, которые нужно было нести на вершины гор. Как затем вторгшиеся мадьяры сжигали деревни и леса. Я бы весьма наглядно описал штурм мадьяр.

24

Е. рассказывает далее, как Генрих, осознав, что он мог противостоять мадьярам в укрепленном Госларе, принял решение основать укрепленные города и что таким образом и были основаны многочисленные города.

Рудольф Штейнер. Вы бы не могли еще раз дать это изложение в культурно-историческом плане? Ибо это несколько монархически приглаженная историческая легенда, что Генрих основал эти города. Все эти города десятого века уже существовали ведь в своей основе, в рынках. Они лишь стимулировались в своем росте тем, что люди, жившие по соседству с этими городами, присоединялись к ним, пи о чтобы приобрести более легкую возможность защиты против набегов мадьяр, и таким образом укрепляли эти места. Здесь повали больше экономические причины, которые приводили к образованию городов. Генрих не так уж много сделал для этого. Я бы только попросил вас давать все это весьма наглядно, действовать весьма живо, чтобы дети получали внутренне наглядные картины, так, чтобы дети могли схватывать буквально все. Вы должны апеллировать к фантазии и использовать такие вещи, как те, которые я вам показал, конкретизируя время. Действительно, нет никакой пользы знать, в каком году, например, было сражение под Самой и так далее, однако, когда представляешь себе, когда знаешь, что Карл Великий приходится тринадцатым предком, если бы подавали друг другу руки сквозь поколения, Тога получаешь тем самым наглядное, конкретное представление о времени. Тогда время становится намного ближе – да, разумеется, оно становится намного ближе, – когда знаешь, что Карла Великого можно найти, восходя к тринадцатому предку.

25

Т. Не было бы хорошо указывать также при таких культурных описаниях на совершенно иные мышление и чувства людей в эти периоды?

Рудольф Штейнер. Да, на это я ведь всегда указывал в своих лекциях, и не только в них. И прежде всего на то, чтобы вы весьма наглядно показывали особенно великий перелом на рубеже пятнадцатого столетия, совершенно иные восприятия, чувства и мышление людей до и после этого времени. Например, уже Лампрехт, которого я, однако, тем самым не хочу особенно рекомендовать, старается констатировать совершенно другие мышление, восприятие и чувства людей до этого периода времени. Документы не использовались совсем еще в этом отношении.

26

Если вы хотите немного освоиться в культурно-историческом рассмотрении, то вы должны прежде всего суметь развить определенное чутье, и если оно у вас будет для более широкого и более узкого, что рассказывают авторы, для более обывательского и несколько более щедрого, то вы можете приобрести более правильные представления о культурно-историческом.

27

Рудольф Штейнер рекомендует, отвечая на вопрос, приобрести для учительской библиотеки:
Бакли. История цивилизации в Англии.
Леки. История Просвещения в Европе.
На них можно отрабатывать метод для культурно-исторического рассмотрения. У Лампрехта можно было бы принять в расчет более старые части, но многое ложно и субъективно.

28

Если вы не усвоили этот инстинкт к действительным движущим культурно-историческим силам, то вы рискуете поистине с вильденбрухским тупоумием, с вильденбрухским дилетантизмом принять за   существенные культурно-исторические события, например, императорские и королевские драмы и такие семейные кошачьи потасовки, как между Людовиком Благочестивым и его сыновьями.

29

«Картинки из немецкого прошлого» Густава Фрейтага весьма хороши, однако нельзя слишком сильно давать обманывать себя этой уютностью написанного для тетушек рассмотрения истории. Именно сегодня вы должны выйти из этого стиля мышления и восприятия, который был у этих людей, представлявших литературу пограничных рассыльных середины девятнадцатого столетия, у Густава Фрейтага, Юлиана Шмидта и так далее. Лассаль назвал его «Шмулиан Юд»; у Лассаля это не звучало антисемитски.

30