Геометрию не следует начинать с треугольников и т. п., где содержится интеллектуалистическое, а с наглядных пространственных представлений.

13

Подобным образом нужно преподносить и арифметику /счет/. Имеется прекрасная брошюра д-ра по наглядной методике математики и физики, от начальной до высших ступеней.

14

Сказанное выше о наглядном пространственном распространяется и на арифметику. Именно, все, что арифметика и даже простой счет /числа/ преподносит ребенку внешним образом, собственно умерщвляет человеческую организацию. Все, что исходит из единичных элементов, нанизывает их последовательно один за другим, убивает человеческую организацию. Все же, что исходит из целого к частям, вызывая сначала представление целого, затем частей, - оживляет человеческую организацию. Это нужно принять во внимание уже при обучении счету. Мы обучаем счету, начиная от единицы, затем прибавляя по одному, добавляя горошине к горошине, и такое беспричинное, необоснованное прибавление не дает никакого представления или идеи, мы апеллируем к произволу операции прибавления. Другой метод: берем нечто целое как единицу /например, яблоко/, - на чертеже это будет отрезок; затем из целого - единицы - делаем две /части/, потом 3, причем единица все время остается как целое, охватывающее свои части, и т. д.

15

Но при этом мы откроем, что в отношении наглядности чисел человек ограничен.
У современных цивилизованных народов охватывают обозримость числового понятия до 10 /у англичан до 12/. Затем начинают счет снова, но считают уже не вещи, а числа - десятки - 10, 20, 30, предметы же здесь не охватываются наглядно элементарными понятиями. И в этом отношении мы вовсе не так далеко ушли от так называемых дикарей, которые тоже наглядно считают до 10 при помощи 10 пальцев. Этот счет как раз и носит характер перехода от целового /рук/ к членам /пальцам/ - числам. И он же облегчает дальнейший переход к аддитивному счету - прикладывание одной единицы к другой, - который таким образом должен быть введен во вторую очередь. Ибо чисто аддитивный счет есть деятельность, которая имеет значение только здесь в физическом пространстве, между тем как расчленение единицы имеет такое внутренне значение, что оно само продолжает вибрировать в эфирном теле и без участия человека. В этом все дело.

16

Так же обстоит дело и со сложением. Исходить при обучении от слагаемых /частей/ к сумме /целому/, т. е. прибавлять слагаемое к слагаемому - это механический, безжизненный путь; живой путь - обратный - это исходить от суммы. Мы имеем, скажем, 14 шариков. Я продолжаю понятие разбиение целого на части и разделяю на три слагаемых: 5, 4 и 5 шариков:

17

Так я иду от суммы к слагаемым, из которых я снова восстанавливаю перед ребенком целое - сумму, которая, следовательно, обладает способностью расчленяться на отдельные слагаемые.

18

Эта последовательность при обучении так же важна, как при запряжке взнуздывать лошадь не за хвост, а за голову. Надо начинать с целого /14 яблок и т. д. /, которое является реальностью, могущей делиться на части различными способами при различных обстоятельствах. После этого можно уже найти путь к обычному сложению.

19

Указанный метод обладает и тем свойством, что при нем используется снова способность эфирного тела продолжать самостоятельную работу над совершенствованием полученных живых побуждений без помех со стороны астрального тела и Я.

20

Так же можно оживить и другие раздели счета, если их поставить с головы на ноги. Именно, если, например, обучить ребенка ставить вопрос так: имея 7, сколько нужно отнять, чтобы получить 3?, а не: сколько получится, если от 7 отнять 4? Имеем 7 - это реальное, и то, что мы ходим получить /3/ - тоже реальное. Сколько нужно отнять от 7, чтобы получить 3? Это форма мышления опирается на жизнь, а другая - на абстракцию.

21

Так же следует проходить умножение и деление. Не спрашивать: сколько получится, если 10 разделить на 2?, а так: как нужно разделить 10, чтобы получить 5? Реальное задано и в жизни должно получиться, выходить то, что имеет значение. Вот двое детей, между которыми нужно разделить 10 яблок, каждый должен получить 5: это реальности. То, что для этого нужно делать, это абстрактное, оно должно быть в середине. Так вещи всегда приспосабливаются непосредственно к жизни. При таком обучении мы обращаем внимание и на подсознательное, т. е. на то, что действует и во сне и также подсознательно во время бодрствования. Ибо человек не мыслит всегда обо всем, о только о небольшой части того, что он пережил душой; но остальное продолжает работать. Пожелаем же ребенку, чтобы его физическое и эфирное тело продолжали работать в здоровом виде. Но мы можем добиться этого только тем, что внесем действительное напряжение, интерес, жизнь именно в обучение счету и геометрии.

22

Спрашивается, хорошо ли строить обучение по периодам, как это делается в Вальдорфской школе. Если периодическое обучение правильно построить, то оно оказывается самым плодотворным. Оно строится так: вместо ежедневных одночасовых уроков - например, 1-й час арифметика, 2-й история или религия и т. д. - посвящают 3-4-5 недель преимущественному прохождению одного предмета, отдавая ему ежедневно 2 урока. Затем в течение 5-6 недель господствует следующий предмет. Таким образом, на протяжении нескольких недель ребенок сосредоточивается на определенном предмете.

23

Возник вопрос, не приводит ли такой порядок к тому, что дети слишком много забывает и вынуждены потом заново вспоминать? Но если обучение построено правильно, то пока проходится следующий предмет, предыдущий предмет продолжает "работать" в подсознательных областях без вмешательства человека - и в этом именно суть дела. И когда после такого "отдыха" предмета через несколько недель возобновляют его прохождение, результаты оказываются более высокими, чем при другой системе. Но, игнорируя эти факты, люди возражают: при такой системе пpeдметы будут забываться! Но подумайте о том, что ведь мы не могли бы столько удержать в голове, если бы не могли регулярно забывать и потом забытое вновь вызывать. Поэтому правильное обучение должно учитывать и преподавание и забывание.

24

Это не значит, что следует особенно радоваться, что дети забывают; это у них само по себе получится. Речь идет о том, чтобы то, что опус кается в подсознательные области, могло быть соответствующим образом снова извлечено оттуда. Воспитание же и обучение апеллируют не только к человеку в целом, но и к его частям и членам. Но во всех случаях нужно исходить из целого, охватить прежде всего целое; в противном случае, прибавляя /в счете/ одно к другому, слагаемое к слагаемому, не заботятся вовсе о делом человеке. На целого человека мы ориентируемся, когда исходим из единства, а оттуда переходим к числам, исходим из суммы - из уменьшаемого, из суммы - из произведения, а от них переходим к компонентам действий.

25